מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 פברואר 2017, גרסה 1.5 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ז
תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 4 מבוא לתורת המספרים................... 1 8 מבנים אלגבריים בסיסיים.................. 2 11 תת חבורות......................... 3 13 חבורת אוילר........................ 4 13 סדרים........................... 5 14 חבורות ציקליות...................... 6 17 מכפלה ישרה של חבורות.................. 7 18 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג)............. 8 20 מחלקות.......................... 9 24 10 חישוב פונקציית אוילר................... 26 11 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים.............. 27 12 נושאים נוספים בחבורה הסימטרית............. 29 13 מערכת הצפנה. RSA................... 31 14 חבורות מוצגות סופית.................... 33 15 הומומורפיזמים....................... 36 16 תת חבורות נורמליות.................... 38 17 חבורות מנה........................ 40 18 משפטי האיזומורפיזם של נתר................ 44 19 פעולת ההצמדה....................... 48 20 אלגוריתם מילר-רבין לבדיקת ראשוניות........... 50 21 חבורות אבליות סופיות................... 52 22 משוואת המחלקות..................... 54 23 תת חבורת הקומוטטור................... 56 24 שדות סופיים........................ 59 25 בעיית הלוגריתם הבדיד ואלגוריתם דיפי-הלמן........ 2
מבוא כמה הערות טכניות לתחילת הקורס: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. ישנה חובת הגשה לתרגילי הבית. החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות, ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים בקורסים מבנים אלגבריים למדעי המחשב ואלגברה מופשטת למתמטיקה. נשתדל לכתוב בגופן הזה כשהגדרות ומושגים חשובים מופיעים בפעם הראשונה. This font נוסיף בצד גם את השם באנגלית, שעשוי לעזור כשמחפשים חומר נוסף שאינו בעברית. נשמח לכל הערה על מסמך זה. מחברים בשנת הלימודים תשע ו: אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר מחברים בשנת הלימודים תשע ז: תומר באואר, עמרי מרכוס ואלעד עטייא 3
1 מבוא לתורת המספרים נסמן כמה קבוצות של מספרים: }... 3, {1, 2, = N המספרים הטבעיים..(Zahlen המספרים השלמים (מגרמנית: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } } {0} Z\ Q = p Z, q המספרים הרציונליים. { p q R המספרים הממשיים. C המספרים המרוכבים. מתקיים.N Z Q R C Divides Euclidean division הגדרה 1.1. יהיו,a b מספרים שלמים. נאמר כי a מחלק את b אם קיים k Z כך ש- b,ka = ונסמן.a b למשל. 5 10 משפט 1.2 (משפט החילוק, או חלוקה אוקלידית). לכל d,0 n Z קיימים,q r יחידים כך ש- r n = qd + וגם d r <.0 המשפט לעיל מתאר מה קורה כאשר מחלקים את n ב- d. הבחירה בשמות הפרמטרים במשפט מגיעה מלע ז, quotient (מנה) ו- remainder (שארית). Greatest common divisor הגדרה 1.3. בהנתן שני מספרים שלמים,n m המחלק המשותף המירבי (ממ מ) שלהם מוגדר להיות המספר gcd(n, m) = max {d N : d n d m} לעיתים נסמן רק m).(n, למשל = 2 10).(6, נאמר כי n, m זרים אם = 1 m).(n, למשל 2 ו- 5 הם זרים. הערה 1.4. אם d a וגם,d b אזי d מחלק כל צירוף לינארי של a ו- b. טענה.1.5 אם,n = qm + r אז r).(n, m) = (m, הוכחה. נסמן (m d, =,n) וצ ל כי (r d. =,m) אנו יודעים כי d n וגם.d m אנו יכולים להציג את r כצירוף לינארי של,n, m ולכן.d r = n qm מכך קיבלנו r).d (m, כעת, לפי הגדרה,m) r) r וגם,m), r) m ולכן,m) r) n כי n הוא צירוף לינארי של.m, r אם ידוע כי (m, r) m וגם,(m, r) n אזי.(m, r) d סך הכל קיבלנו כי.d = (m, r) משפט 1.6 (אלגוריתם אוקלידס). המתכון למציאת ממ מ בעזרת שימוש חוזר בטענה Euclidean 1.5 הוא אלגוריתם אוקלידס. ניתן להניח m < n.0 אם = 0,m אזי algorithm.(n, m) = n אחרת נכתוב n = qm + r כאשר r < m 0 ונמשיך עם r).(n, m) = (m, (הבינו למה האלגוריתם חייב להעצר.) 4
Extended Euclidean דוגמה 1.7. נחשב את הממ מ של 53 ו- 47 בעזרת אלגוריתם אוקלידס (53, 47) = [53 = 1 47 + 6] (47, 6) = [47 = 7 6 + 5] (6, 5) = 1 דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים: (224, 63) = [224 = 3 63 + 35] (63, 35) = [63 = 1 35 + 28] (35, 28) = [35 = 1 28 + 7] (28, 7) = [28 = 4 7 + 0] (7, 0) = 7 משפט 1.8 (אפיון הממ מ כצירוף לינארי מזערי). מתקיים לכל מספרים שלמים,a b כי (a, b) = min {au + bv N u, v Z} בפרט קיימים s, t Z כך ש- tb.(a, b) = sa + דוגמה 1.9. כדי למצוא את המקדמים,s t כשמביעים את הממ מ כצירוף לינארי כנ ל נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב: algorithm (234, 61) = [234=3 61+51 51 = 234 3 61] (61, 51) = [61=1 51+10 10 = 61 1 51 = 61 1 (234 3 61) = 1 234 + 4 61] (51, 10) = [51=5 10+1 1 = 51 5 10 = 51 5 ( 1 234 + 4 61) = 6 234 23 61] (10, 1) = 1 ולכן 61 23 234 6 = 1 = 61).(234, תרגיל 1.10. יהיו,a,b c מספרים שלמים כך ש- 1 = (b,a) וגם.a bc הראו כי.a c פתרון. לפי אפיון הממ מ כצירוף לינארי, קיימים,s t כך ש- tb = sa + 1. נכפיל ב- c ונקבל.c = sac + tbc ברור כי a sac ולפי הנתון גם.a tbc לכן tbc),a (sac + כלומר.a c טענה 1.11. תכונות של ממ מ:.1 יהי m) d = (n, ויהי e כך ש- e m וגם,e n אזי.e d (an, am) = a (n, m).2 3. אם p ראשוני וגם,p ab אזי p a או.p b 5
הוכחת התכונות. 1. קיימים,s t כך ש- sn+tm d. = כיוון ש- m,e n, אז הוא מחלק גם את צירוף לינארי שלהם,sn + tm ז א את d. 2. (חלק מתרגיל הבית.).3 אם,p a אז = 1 a).(p, לכן קיימים s, t כך ש- 1 =.sa+tp נכפיל את השיוויון האחרון ב- b ונקבל.sab + tpb = b ברור כי p מחלק את אגף שמאל (הרי,(p ab ולכן p מחלק את אגף ימין, כלומר.p b Least common multiple הגדרה 1.12. בהנתן שני מספרים שלמים,n m הכפולה המשותפת המזערית (כמ מ) שלהם מוגדרת להיות lcm(n, m) = min {d N : n d m d} לעיתים נסמן רק m].[n, למשל = 30 10] [6, ו- 10 = 5].[2, טענה 1.13. תכונות של כמ מ:.1 אם m a וגם,n a אז.[n, m] a.2 nm.[n, m] (n, m) = למשל 4 6 = 24 = 2 12 = 4) (6, 4].[6, הוכחת התכונות..1 יהיו q, r כך ש- r a = q [n, m] + כאשר m] r < [n,.0 מהנתון כי n, m a ולפי הגדרה m],n, m [n, נובע כי.n, m r אם 0 r זו סתירה למינימליות של m].[n, לכן m],a = q [n, כלומר.[n, m] a 2. נראה דרך קלה לחישוב הממ מ והכמ מ בעזרת הפירוק של מספר למכפלת גורמים ראשוניים. נניח כי הפירוק הוא n = i=1 p β i i = p β 1 1 p β 2 2 p β 3 3... m = i=1 p α i i = p α 1 1 p α 2 2 p α 3 3... כעת צריך i α i, β (והם כמעט תמיד אפס כי המכפלה סופית). כאשר 0 להשתכנע כי (n, m) = p min(α i,β i ) i [n, m] = p max(α i,β i ) i i=1 ומפני שלכל שני מספרים α, β מתקיים β),α + β = min(α, β) + max(α, אז.[n, m] (n, m) = nm i=1 שאלה 1.14 (לבית). אפשר להגדיר ממ מ ליותר מזוג מספרים. יהי d הממ מ של המספרים.n 1,..., n k הראו שקיימים מספרים שלמים s 1,..., s k המקיימים + 1 s 1 n.k רמז: אינדוקציה על. + s k n k = d 6
Congruent modulo n Congruence class הגדרה 1.15. יהי n מספר טבעי. נאמר כי,a b Z הם שקולים מודולו n אם.n a b כלומר קיים k Z כך ש- kn.a = b + נסמן יחס זה n) a b (mod ונקרא זאת a שקול ל- b מודולו n. טענה 1.16 (הוכחה לבית). שקילות מודולו n היא יחס שקילות (רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי). כפל וחיבור מודולו n מוגדרים היטב. כלומר אם n),a b, c d (mod אז n) ac bd (mod וגם n).a + c b + d (mod צורת רישום 1.17. את אוסף מחלקות השקילות מודולו n מקובל לסמן = Z/nZ Z n = Z}.{[a] a למשל [3]}, [2], [1], {[0] = 4.Z לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות a. ולעיתים כאשר ההקשר ברור פשוט a, בסימון [a] תרגיל 1.18. מצאו את הספרה האחרונה של 333. 333 פתרון. בשיטה העשרונית, הספרה האחרונה של מספר N היא (10 N. (mod נשים לב כי 111 333 333 = 3 333.333 לכן 111 1 (mod 10) 111 333 1 333 1 (mod 10) 3 333 = 3 4 83+1 = ( 3 4) 83 3 = 81 83 3 1 83 3 (mod 10) 333 333 = 3 333 111 333 3 (mod 10) ומכאן שהספרה האחרונה היא 3. תרגיל 1.19 (אם יש זמן). מצאו x Z 0 כך ש-( 234.61x 1 (mod פתרון. לפי הנתון, קיים k Z כך ש- 1 234k 61x. + ז א 1 הוא צירוף לינארי (מינימלי במקרה זה) של 61 ו- 234. לפי איפיון ממ מ קיבלנו כי = 1 (61,234). כלומר,k x הם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ מ כצירוף לינארי מזערי. לפי תרגיל קודם 61 23 234 6 =.1 לכן 234),x 23 (mod וכדי להבטיח כי x אינו שלילי נבחר = 211.x Chinese remainder theorem משפט 1.20 (משפט השאריות הסיני). אם,n m זרים, אזי לכל,a b Z קיים x יחיד עד כדי שקילות מודולו nm כך ש-( n x b (mod m),x a (mod (יחד!). הוכחה לא מלאה. מפני ש- 1 = m),(n, אזי קיימים s, t Z כך ש- 1 = tm.sn + כדי להוכיח קיום של x כמו במשפט נתבונן ב- atm.bsn + מתקיים bsn + atm atm a 1 a (mod n) bsn + atm bsn b 1 b (mod m) ולכן x = bsn + atm הוא פתרון אפשרי. ברור כי גם x = x + kmn לכל k Z הוא פתרון תקף. הוכחת היחידות של x מודולו nm תהיה בתרגיל הבית. 7
דוגמה.1.21 נמצא x Z כך ש-( 3 x 1 (mod וגם 5).x 2 (mod ידוע כי = 1 3),(5, ולכן = 1 3 2 5 +. 1 במקרה זה = 3 m n = 5, וכן = 2 t,s = 1, ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את = 7 6 2 + ( 5) 1 =.x אכן מתקיים.7 2 (mod 5) 7 וגם 1 (mod 3) משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי. הנה גרסה שלו למערכת משוואות של שקילות מודולו: משפט 1.22 (אם יש זמן). תהא } k {m 1,..., m קבוצת מספרים טבעיים הזרים בזוגות (כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר). נסמן את מכפלתם ב- m. בהנתן קבוצה כלשהי של שאריות k},{a i (modm i ) 1 i קיימת שארית יחידה x מודולו m המהווה פתרון למערכת המשוואות x a 1 (mod m 1 ). x a k (mod m k ) דוגמה.1.23 נמצא y Z כך ש-ש-( 3 y 2 (mod 5),y 1 (mod וגם 3 y (7.(mod נשים לב שהפתרון = 7 y מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה של = 15 5 3 (כי 3) (mod 0 15 וגם 5) (mod 0.(15 לכן את שתי המשוואות.y 7 (mod 15) ניתן להחליף במשוואה אחת y 2 (mod 5),y 1 (mod 3) נשים לב כי = 1 (7,15) ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג משוואות. בדקו כי = 52 y מהווה פתרון. 2 מבנים אלגבריים בסיסיים בהתאם לשם הקורס, כעת נכיר כמה מבנים אלגבריים. מבנה אלגברי שמכירים כבר באלגברה לינארית הוא שדה. אנו נגדיר כמה מבנים יותר פשוטים, כשהחשוב שבהם הוא חבורה. במרבית הקורס נתרכז בחקר חבורות. Binary operation Semigroup Associative Associativity הגדרה.2.1 פעולה בינארית על קבוצה S היא פונקציה דו מקומית : S S S. עבור,a b S כמעט תמיד במקום לרשום (b,a) נשתמש בסימון a. b מפני שתמונת הפונקציה a b שייכת ל- S, נאמר כי הפעולה היא סגורה. הגדרה 2.2. אגודה (או חבורה למחצה) היא מערכת אלגברית (,S) המורכבת מקבוצה לא ריקה S ומפעולה בינארית קיבוצית על S. קיבוציות (או אסוציטיביות) משמעה שלכל a, b, c S מתקיים c).(a b) c = a (b דוגמה 2.3. המערכת (+,N) של מספרים טבעיים עם החיבור הרגיל היא אגודה. דוגמה 2.4. המערכת (,Z) אינה אגודה, מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית. למשל.(5 2) 1 5 (2 1) 8
צורת רישום 2.5. לעיתים נקצר ונאמר כי S היא אגודה מבלי להזכיר במפורש את המערכת האלגברית. במקרים רבים הפעולה תסומן כמו כפל, דהיינו ab או a, b ובמקום לרשום מכפלה aa... a של n פעמים a נרשום.a n הגדרה.2.6 תהי ) (S, אגודה. איבר e S נקרא איבר יחידה אם לכל a S מתקיים Identity element.a e = e a = a Monoid הגדרה 2.7. מונואיד (או יחידון) (e,m), הוא אגודה בעלת איבר יחידה e. הפעולה ואיבר היחידה ברורים מן ההקשר, פשוט נאמר כי M הוא מונואיד. כאשר הערה 2.8 (בהרצאה). יהי (e,m), מונואיד עם איבר יחידה e. הוכיחו כי איבר היחידה הוא יחיד. הרי אם e, f M הם איברי יחידה, אז מתקיים.e = e f = f Left invertible Left inverse Right invertible Right inverse Invertible Inverse הגדרה 2.9. יהי (e,m), מונואיד. איבר a M יקרא הפיך משמאל אם קיים איבר a. יקרא הופכי שמאלי של b במקרה זה.ba = כך ש- e b M באופן דומה, איבר a M יקרא הפיך מימין אם קיים איבר b M כך ש- e.ab = במקרה זה b יקרא הופכי ימני של a. איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b M כך ש- e.ba = ab = במקרה זה b יקרה הופכי של a. תרגיל 2.10 (בהרצאה). יהי a M איבר הפיך משמאל ומימין. וההופכי שלו הוא יחיד. הראו ש- a הפיך פתרון. יהי b הופכי שמאלי כלשהו של a (קיים כזה כי a הפיך משמאל), ויהי c הופכי ימני כלשהו של a (הצדקה דומה). נראה כי b = c ונסיק שאיבר זה הוא הופכי של a. ודאו כי אתם יודעים להצדיק כל אחד מן המעברים הבאים: c = e c = (b a) c = b (a c) = b e = b לכן כל ההופכיים הימיניים וכל ההופכיים השמאליים של a שווים זה לזה. מכאן גם שההופכי הוא יחיד, ויסומן 1 a. שימו לב שאם איבר הוא רק הפיך מימין ולא משמאל, אז יתכן שיש לו יותר מהופכי ימני אחד (וכנ ל בהיפוך הכיוונים)! Group הגדרה 2.11. חבורה (e,g), היא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך. לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית (,G) היא חבורה צריך להראות כי הפעולה היא סגורה, קיבוצית, שקיים איבר יחידה ושכל איבר הוא הפיך. כמו כן מתקיים: חבורה מונואיד אגודה. דוגמה 2.12. המערכת (+,Z) היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא 0. בכתיב חיבורי מקובל לסמן את האיבר ההופכי של a בסימון a. כתיב זה מתלכד עם המושג המוכר של מספר נגדי ביחס לחיבור. 9
דוגמה 2.13. יהי F שדה (למשל R Q, או C). אזי (0,+,F) עם פעולת החיבור של השדה היא חבורה. באופן דומה גם (+,( F) M) n,m (אוסף המטריצות בגודל n m מעל F) עם פעולת חיבור מטריצות היא חבורה. איבר היחידה הוא מטריצת האפס. דוגמה 2.14. יהי F שדה. המערכת (,F) עם פעולת הכפל של השדה היא מונואיד שאינו חבורה (מי לא הפיך?). איבר היחידה הוא 1. דוגמה.2.15 יהי F שדה. נסמן {0} \ F.F = אזי 1),, (F היא חבורה. לעומת זאת, המערכת (, Z) עם הכפל הרגיל של מספרים שלמים היא רק מונואיד (מי הם האיברים ההפיכים בו?). Trivial group Group of units דוגמה 2.16. קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה. לחבורה זו קוראים החבורה הטריוויאלית. הגדרה 2.17 (חבורת האיברים ההפיכים). יהי M מונואיד ויהיו,a b M זוג איברים. אם,a b הם הפיכים, אזי גם a b הוא הפיך במונואיד. אכן, האיבר ההופכי הוא 1 a.(a b) 1 = b 1 לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה ביחס לפעולה. כמו כן האוסף הנ ל מכיל את איבר היחידה, וכל איבר בו הוא הפיך. מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה המצומצמת. נסמן חבורה זו ב-( U(M. הגדרה 2.18. המערכת (,(R) M) n של מטריצות ממשיות בגודל n n עם כפל מטריצות היא מונואיד. לחבורת ההפיכים שלו U(M n (R)) = GL n (R) = {A M n (R) det A 0} General linear group Abelian (or commutative) Abelian group קוראים החבורה הלינארית הכללית (ממעלה n) מעל R. הגדרה 2.19. נאמר כי פעולה דו מקומית : G G G היא אבלית (או חילופית) אם לכל שני איברים a, b G מתקיים.a b = b a אם ) (G, חבורה והפעולה היא אבלית, נאמר כי G היא חבורה אבלית (או חילופית). המושג נקרא על שמו של נילס הנריק א בּ ל Abel).(Niels Henrik דוגמה.2.20 יהי F שדה. החבורה ) ), (F (GL n אינה אבלית עבור > 1.n דוגמה 2.21. מרחב וקטורי V יחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית. הערה 2.22. עבור קבוצה סופית אפשר להגדיר פעולה בעזרת לוח כפל. b} S = {a, ונגדיר a b a a a b b b למשל, אם אזי (,S) היא אגודה כי הפעולה קיבוצית, אך היא אינה מונואיד כי אין בה איבר יחידה. נשים לב שהיא לא חילופית כי,a b = a אבל b. a = b בבית תתבקשו למצוא לוחות כפל עבור S כך שיתקבל מונואיד שאינו חבורה, שתתקבל חבורה וכו. 10
Distributive law הערה 2.23 (אם יש זמן). בקורס באלגברה לינארית כנראה ראיתם הגדרה של שדה (1,,0,+,F) הכוללת רשימה ארוכה של דרישות. בעזרת ההגדרות שראינו נוכל לקצר אותה. נסמן {0} \ F.F = נאמר כי F הוא שדה אם 0) +, (F, היא חבורה חילופית, 1),, (F היא חבורה חילופית וקיום חוק הפילוג (לכל a, b, c F מתקיים.(a(b + c) = ab + ac תרגיל 2.24. האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל? Symmetry group on X פתרון. כן. נבנה מונואיד כזה. תהא X קבוצה. נסתכל על קבוצת ההעתקות מ- X לעצמה המסומנת {X X. X = f} X ביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד, ואיבר היחידה בו הוא העתקת הזהות. ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח ע. ההפיכים מימין הם הפונקציות על (להזכיר את הטענות הרלוונטיות מבדידה). מה יקרה אם נבחר את X להיות סופית? (לעתיד: לחבורה ), X U(X קוראים חבורת הסימטריה על X ומסמנים.S X אם n} X = {1,..., מקובל לסמן את חבורת הסימטריה שלה בסימון S, n ולכן כל איבר הפיך משמאל. עבור 3 n זו חבורה לא אבלית.) אם ניקח למשל X = N קל למצוא פונקציה על שאינה חח ע. הפונקציה שנבחר היא 1) n.d(n) = max(1, לפונקציה זו יש הופכי מימין, למשל + 1 n,u(n) = אבל אין לה הפיך משמאל. צורת רישום 2.25. יהי n מספר שלם. נסמן את הכפולות שלו ב-{...,±2n.nZ =,0},n± למשל }... 12, 4, 0, 4, 8, 8, 12,,.. {. =.4Z דוגמה.2.26 נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו.Z n = {[a] : a Z},n כזכור חיבור וכפל מודולו n מוגדר היטב. למשל [b [a]+[b] = a] + כאשר באגף שמאל הסימן + הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות (a הוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו- b הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת) ובאגף ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים (שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + b נמצא). אפשר לראות כי (+, n Z) היא חבורה אבלית. נבחר נציגים למחלקות השקילות [0] + [a] = [0 + a] = [a] איבר היחידה הוא [0] (הרי.Z n = {[0], [1],..., [n 1]} לכל [a]). קיבוציות הפעולה והאבליות נובעת מקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור הרגילה. האיבר ההופכי של [a] הוא [a n]. מה ניתן לומר לגבי (, n Z)? ישנה סגירות, ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה [1]. אך זו לא חבורה כי ל-[ 0 ] אין הופכי. נסמן {[0]} \ n.z n = Z האם ) n, (Z חבורה? לא בהכרח. למשל עבור 6 Z נקבל כי [0] = [6] = [3].[2] לפי ההגדרה / Z n,[0] ולכן (,n Z) אינה סגורה (כלומר אפילו לא אגודה). 3 תת חבורות הגדרה 3.1. תהי G חבורה. תת קבוצה H G היא תת חבורה, אם היא מהווה חבורה Subgroup ביחס לפעולה המושרית מ- G. 11
Trivial subgroup דוגמה 3.2. לכל חבורה G יש שתי תת חבורות באופן מיידי: {e} G (הנקראת תת החבורה הטריוויאלית), ו- G G. דוגמה 3.3. לכל.nZ Z n, Z בהמשך נוכיח שאלו כל תת החבורות של Z. דוגמה 3.4 (בתרגיל). mz nz אם ורק אם.n m דוגמה.3.5 +), n (Z אינה תת חבורה של +) (Z, כי Z n אינה מוכלת ב- Z : האיברים ב- Z n הם מחלקות שקילות, ואילו האיברים ב- Z הם מספרים. דוגמה.3.6 n U אינה תת חבורה כפלית של ), n (Z כי ), n (Z אינה חבורה. דוגמה.3.7 ), (R) (GL n אינה תת חבורה של +), (R) (M n כי הפעולות בהן שונות. טענה 3.8 (קריטריון מקוצר לתת חבורה מההרצאה). תהי H G תת קבוצה. אזי H תת חבורה של G אם ורק אם שני התנאים הבאים מתקיימים:.e H.1.h 1 h 1.2 לכל,h 1, h 2 H גם H 2 SL n (F ) = {A GL n (F ) det A = 1} תרגיל 3.9. יהי F שדה. נגדיר Special linear group הוכיחו כי ) (F SL n (F ) GL n היא תת חבורה. קוראים לה החבורה הלינארית המיוחדת מדרגה n. הוכחה. ניעזר בקריטריון המקוצר לתת חבורה..1 ברור כי ) (F,I n SL n כי = 1 n.det I.2 נניח ) (F.A, B SL n צ ל ) (F.AB 1 SL n אכן, det ( AB 1) = det A det B 1 = det A det B = 1 1 = 1 ולכן ) (F.AB 1 SL n לפי הקריטריון המקוצר, ) (F SL n היא תת חבורה של ) (F.GL n 12
4 חבורת אוילר Multiplicative group of integers modulo n דוגמה 4.1. עדין ניתן להציל את המקרה של הכפל מודולו n. נגדיר את חבורת אוילר להיות ) n U n = U(Z לגבי פעולת הכפל מודולו n. הן נקראות על שמו של לאונרד אוֹיל ר Euler).(Leonhard נבנה את לוח הכפל של Z 6 (בהתעלם מ-[ 0 ] שתמיד יתן במכפלה [0]): 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 0 2 4 3 3 0 3 0 3 4 4 2 0 4 2 5 5 4 3 2 1 האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם 1 (הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק עמודות או רק שורות). כלומר {[5], [1]} = 6 U. במקרה זה [5] הוא ההופכי של עצמו. הערה.4.2 אם p הוא מספר ראשוני, אז.U p = Z p טענה 4.3 (מההרצאה). יהי.m Z אז [m] U n אם ורק אם = 1 m).(n, כלומר, ההפיכים במונואיד (, n Z) הם כל האיברים הזרים ל- n. דוגמה.4.4 11} {1, 5, 7, = 12.U דוגמה 4.5. לא קיים ל- 5 הופכי כפלי ב- Z, 10 שכן אחרת 5 היה זר ל- 10 וזו סתירה. 5 סדרים הגדרה 5.1. תהי G חבורה. נגדיר את הסדר של G להיות עוצמתה כקבוצה. במילים Order of a group יותר גשמיות, כמה איברים יש בחבורה. נסמן זאת G. צורת רישום.5.2 בחבורה כפלית נסמן את החזקה החיובית a n = aa... a לכפל n פעמים. בחבורה חיבורית נסמן.na = a + + a חזקות שליליות הן חזקות חיוביות של ההופכי של a. מוסכם כי a. 0 = e Order of an element הגדרה 5.3. תהי (e,g), חבורה ויהא איבר g. G הסדר של איבר הוא המספר הטבעי n הקטן ביותר כך שמתקיים g. n = e אם אין n כזה, אומרים שהסדר של g הוא אינסוף. בפרט, בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא 1, וזהו האיבר היחיד מסדר.1 סימון מקובל o(g) = n ולפעמים. g דוגמה.5.4 בחבורה +), 6.o (1) = o (5) = 6,o (3) = 2,o (2) = o (4) = 3,(Z 13
דוגמה.5.5 נסתכל על החבורה ), 10.(U נזכור כי 9} {1, 3, 7, = 10 U (כי אלו המספרים הזרים ל- 10 וקטנים ממנו). נחשב את (7) o: 7 2 = 49 9 (mod 10) 7 3 = 7 7 2 7 9 = 63 3 (mod 10) 7 4 = 7 7 3 = 7 3 = 21 1 (mod 10) ולכן = 4 (7).o דוגמה.5.6 נסתכל על )), (R) (GL ( 2 חבורת המטריצות ההפיכות מגודל 2 2 מעל.R 0 1 :b = נחשב את הסדר של 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 1 b 2 = = I 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 b 3 = b b 2 = = = I 1 1 1 0 0 1 לכן = 3 (b).o תרגיל.5.7 תהי G חבורה. הוכיחו שלכל.o (a) = o (a 1 ),a G הוכחה. נחלק לשני מקרים: מקרה.1 נניח < n.o (a) = לכן.a n = e ראשית, e = e n = ( a 1 a ) n = ( a 1) n a n = ( a 1) n e = ( a 1 ) n כאשר המעבר מבוסס על כך ש- a ו- 1 a מתחלפים (באופן כללי, n (ab).o (a 1 ) n = o (a) ולכן,(a 1 ) n = הוכחנו ש- e.(a n b n כעת, צריך להוכיח ( את אי-השוויון השני. אם נחליף את a ב- 1 a, נקבל ) 1 (a.o (a) = o (a 1 ) 1) < o לכן יש שוויון. מקרה.2 נניח = (a),o ונניח בשלילה < ) 1 (a.o לפי המקרה הראשון,.o (a 1 ) < וקיבלנו סתירה. לכן,o (a) = o (a 1 ) < 6 חבורות ציקליות Cyclic subgroup generated by a הגדרה 6.1. תהי G חבורה, ויהי a. G תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a היא תת החבורה a = { a } k k Z 14
דוגמה.6.2 עבור. n = {kn k Z} = nz,n Z Cyclic group הגדרה 6.3. תהי G חבורה ויהי איבר a. G אם a G, = אזי נאמר כי G נוצרת על ידי a ונקרא ל- G חבורה ציקלית (מעגלית). דוגמה 6.4. החבורה (+,Z) נוצרת על ידי 1, שכן כל מספר ניתן להצגה ככפולה (כחזקה) של 1. שימו לב כי יוצר של חבורה ציקלית לא חייב להיות יחיד, למשל גם 1 יוצר את.Z דוגמה.6.5 החבורה 1 = +), n (Z היא ציקלית. וודאו כי בחבורה +), 2 (Z יש רק יוצר אחד (נניח על ידי טבלת כפל). וודאו כי בחבורה (+, 10 Z) יש ארבעה יוצרים. שניים די ברורים (1 וגם 9 1 ), האחרים (7,3) דורשים לבינתיים בדיקה ידנית. במילים, הסדר של איבר הוא סדר אזי a o. (a) = הערה 6.6. יהי a. G תת החבורה שהוא יוצר. טענה 6.7. שימו לב כי הסדר של יוצר בחבורה ציקלית הוא סדר החבורה. כלומר אנחנו יודעים כי +), 10 (Z 5 אינו יוצר כי הסדר שלו הוא 10 Z = 10 < 2 =, 5 שהרי.5 + 5 0 (mod 10) טענה 6.8. כל חבורה ציקלית היא אבלית. הוכחה. תהי G חבורה ציקלית, ונניח כי a.g = יהיו.g 1, g 2 G צ ל.g 1 g 2 = g 2 g 1 G ציקלית, ולכן קיימים i, j שעבורם g 1 = a i ו-.g 2 = a j מכאן שמתקיים g 1 g 2 = a i a j = a i+j = a j+i = a j a i = g 2 g 1 דוגמה 6.9. לא כל חבורה אבלית היא ציקלית. למשל, נסתכל על {7,1},3,5 = 8 U. זו לא חבורה ציקלית, כי אין בחבורה הזו איבר מסדר 4 (כל האיברים שאינם 1 הם מסדר 2 בדקו). n-th roots of unity דוגמה 6.10. קבוצת שורשי היחידה מסדר n מעל C היא { Ω n = {z C z n = 1} = cis 2πk } n k = 0, 1,..., n 1,ω n = cis 2π n נקבל n.ω n = ω כלומר Ω n היא זו תת חבורה של C. אם נסמן תת חבורה ציקלית ונוצרת על ידי ω. n טענה 6.11. הוכיחו שאם G ציקלית, אז כל תת חבורה של G היא ציקלית. 15
הוכחה. תהי H G תת חבורה. נסמן a G. = כל האיברים ב- G הם מהצורה a, i ולכן גם כל האיברים ב- H הם מהצורה הזו. יהי s N המספר המינימלי שעבורו.a s H נרצה להוכיח s.h = a אכן, יהי k N שעבורו a. k H לפי משפט החילוק עם שארית, קיימים q ו- r שעבורם r < s,k = qs + r.0 לכן, a k = a qs+r = a qs a r = (a s ) q a r במילים אחרות,.a r = a k (a s ) q אבל,a s, a k H ולכן גם a r H (סגירות לכפל ולהופכי). אם 0,r קיבלנו סתירה למינימליות של s כי a r H וגם < r < s 0 (לפי בחירת.(r לכן, = 0.r כלומר,,k = qs ומכאן.s k לכן s,a k a כדרוש. מסקנה.6.12 תת החבורות של +) (Z, הן בדיוק +) (nz, עבור {0} N.n טענה 6.13 (מההרצאה). תהי G חבורה, ויהי a. G מתקיים a n = e אם ורק אם.o (a) n תרגיל.6.14 תהי G חבורה, ויהי.a G נניח < n.o (a) = הוכיחו שלכל d n טבעי, o ( a d) = n (d, n) = o (a) (d, o (a)) ( a d ) n (d,n) = (a n ) d (d,n) = e הוכחה. היתכנות: נשים לב כי Roots of unity d (הפעולות שעשינו חוקיות, כי Z ). (d, n) ( a d) t, כלומר.a dt = e לפי טענה,6.13.n dt לכן, גם ( ) מינימליות: נניח = e n. (d, n), d n dt (שניהם מספרים שלמים מדוע?). מצד שני, = 1 (d, n) (d, n) (d, n) n לפי תרגיל שהוכחנו בתרגול הראשון, t, כמו שרצינו. (d, n) =.Ω הוכיחו: תרגיל 6.15 (אם יש זמן). נסמן את קבוצת שורשי היחידה Ω n n=1 1. Ω היא חבורה לגבי כפל. (איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!).2 לכל Ω o (x) <,x (כלומר: כל איבר ב- Ω הוא מסדר סופי)..3 Ω אינה ציקלית. 16
Torsion group לחבורה כזו, שבה כל איבר הוא מסדר סופי, קוראים חבורה מפותלת. פתרון. לכן 1. נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת חבורה של C. תרגיל לבית: אוסף האיברים מסדר סופי של חבורה אבלית הוא תת חבורה (ובמקרה זה נקרא תת חבורת הפיתול). לפי הגדרת Ω, רואים שהיא מכילה בדיוק את כל האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית C, ולכן חבורה. באופן מפורש ולפי הגדרה: ברור כי Ω 1, ולכן היא לא ריקה. יהיו 2 g 1, g l, k Z נכתוב עבור.g 2 Ω n,g 1 Ω m שעבורם m, n לכן קיימים.Ω מתאימים: g 1 = cis 2πk m, g 2 = cis 2πl n g 1 g 2 = cis 2πk ( 2πk m cis2πl n = cis m + 2πl ) n ( ) 2π (kn + lm) = cis Ω mn Ω mn סגירות להופכי היא ברורה, שהרי אם,g Ω n אז גם Ω.g 1 Ω n (אם יש זמן: לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות, ובאופן כללי יותר, איחוד רשת של חבורות, היא חבורה.).2 לכל Ω x קיים n שעבורו.x Ω n לכן,.o (x) n Ω אך Ω הן סופיות. 3. לפי הסעיף הקודם, כל תת החבורות הציקליות של אינסופית, ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן. תרגיל 6.16 (אם יש זמן). תהי G חבורה ציקלית מסדר n. כמה איברים ב- G יוצרים את G? פתרון. נניח כי a G. = אזי G = a k o ( a k) = n n (k, n) = n (k, n) = 1 לכן, מספר האיברים היוצרים את G הוא n U. 7 מכפלה ישרה של חבורות בנייה חשובה של חבורות חדשות מחבורות קיימות. לתרגיל הבית, כולל מכפלות של יותר מזוג חבורות. תהינה (,G) ו-(,H) חבורות. הזכרו ממתמטיקה בדידה בסימון G H = {(g, h) g G, h H} 17
טענה 7.1. נגדיר פעולה על G H רכיב-רכיב, כלומר (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ) (External) Direct product אז (,H G) היא חבורה, הנקראת המכפלה הישרה (החיצונית) של G ו- H. איבר היחידה ב- H G הוא ) H.(e G, e דוגמה 7.2. נסתכל על U. 8 Z 3 נדגים את הפעולה: (3, 2) (5, 2) = (3 5, 2 + 2) = (15, 4) = (7, 1) (5, 1) (7, 2) = (5 7, 1 + 2) = (35, 3) = (3, 0) האיבר הניטרלי הוא (0,1). הערה 7.3. מעכשיו, במקום לסמן את הפעולה של G H ב-, נסמן אותה בשביל הנוחות. תרגיל.7.4 האם Z n Z n ציקלית (עבור 2?(n פתרון. לא! נוכיח שהסדר של כל איבר,a) (b Z n Z n הוא לכל היותר n: אכן, (a, b) n = (a, b) (a, b) (a, b) = (a + + a, b + + b) = (na, nb) = (0, 0) כיוון שהסדר הוא המספר המינימלי m שעבורו 0) (0, = m,(a, b) בהכרח.m n כלומר, הסדר של כל איבר ב- Z n Z n הוא לכל היותר n. כעת, נסיק כי החבורה הזו אינה ציקלית: כזכור מבדידה, Z. n Z n = n 2 אילו החבורה Z n Z n הייתה ציקלית, היה בה איבר מסדר n. 2 אך אין כזה, ולכן החבורה אינה ציקלית. הערה 7.5. התרגיל הקודם אומר שמכפלה של חבורות ציקליות אינה בהכרח ציקלית. לעומת זאת, מכפלה של חבורות אבליות נשארת אבלית. 8 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) Symmetric group הגדרה 8.1. החבורה הסימטרית מדרגה n היא S n = {σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} σ is bijective} Permutation זהו אוסף כל ההעתקות החח ע ועל מהקבוצה {n,...,2,1} לעצמה, ובמילים אחרות אוסף כל שינויי הסדר של המספרים {n S n,1}.,2..., היא חבורה, כאשר הפעולה היא הרכבת פונקציות. איבר היחידה הוא פונקציית הזהות. כל איבר של S n נקרא תמורה. הערה 8.2 (אם יש זמן). החבורה S n היא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X X עם פעולת ההרכבה, כאשר n}.x = {1, 2,..., 18
דוגמה.8.3 ניקח לדוגמה את.S 3 איבר σ S 3 הוא מהצורה σ (2) = j,σ (1) = i ו- k,σ (3) = כאשר 3} {1, 2, k i, j, שונים זה מזה. נסמן בקיצור ( ) 1 2 3 σ = i j k נכתוב במפורש את האיברים ב- S: 3 ( ) 1 2 3.id =.1 1 2 3 ( ) 1 2 3.τ =.2 2 1 3 ( ) 1 2 3.σ =.3 2 3 1 ( ) 1 2 3.σ 2 = σ σ =.4 3 1 2 ( ) 1 2 3.στ = σ τ =.5 3 2 1 ( ) 1 2 3.τσ = τ σ =.6 1 3 2 מסקנה 8.4. נשים לב ש- S 3 אינה אבלית, כי.στ τσ מכאן גם קל לראות ש- S n אינה ציקלית לכל 3 n, כי היא לא אבלית. הערה 8.5. הסדר הוא!n S. n = אכן, מספר האפשרויות לבחור את (1) σ הוא n. אחר כך, מספר האפשרויות לבחור את (2) σ הוא 1 n. כך ממשיכים, עד שמספר האפשרויות לבחור את (n) σ הוא 1, האיבר האחרון שלא בחרנו. בסך הכל,. S n = n (n 1) 1 = n! Cycle Length of a cycle Disjoint cycles הגדרה 8.6. מחזור (או עגיל) ב- S n הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של מספרים שונים: a 1 a 2 a 3 a k a 1 (ושאר המספרים נשלחים לעצמם). כותבים את התמורה הזו בקיצור ) k.(a 1 a 2... a האורך של המחזור ) k (a 1 a 2... a הוא k. ( ) 1 2 3 4 5. S, המחזור (2 4) 5 מציין את התמורה 1 4 3 5 2 דוגמה 8.7. ב- 5 משפט 8.8. כל תמורה ניתנת לכתיבה כהרכבת מחזורים זרים, כאשר הכוונה ב מחזורים זרים היא מחזורים שאין להם מספר משותף שהם משנים את מיקומו. 19
הערה 8.9. שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה (מדוע?), ולכן חישובים עם מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 =.σ כדי :S דוגמה.8.10 נסתכל על התמורה הבאה ב- 4 7 3 1 5 2 6 7 לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים, לוקחים מספר, ומתחילים לעבור על המחזור המתחיל בו. למשל: 1 4 1 אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור (4 1). כעת ממשיכים כך, ומתחילים ממספר אחר: 2 7 6 2 אז נקבל את המחזור (6 2) 7 בכתיבה. נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם, כלומר 3,3 5,5 ולכן σ = (1 4) (2 7 6) נחשב את σ. 2 אפשר ללכת לפי ההגדרה, לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2 תשלח אותו; אבל, כיוון שמחזורים זרים מתחלפים, נקבל σ 2 = ((1 4) (2 7 6)) 2 = (1 4) 2 (2 7 6) 2 = (2 6 7) תרגיל.8.11 יהי σ S n מחזור מאורך.k מהו (σ)?o פתרון. נסמן ) k 1.σ = (a 0 a 1... a נוכיח כי.o (σ) = k מתקיים ש- σ k (a 0 ) = a i mod k (שימו לב, האינדקס מודולו k מאפשר לנו לעבוד בטווח 1} k,... 1,.({0, ראשית, ברור כי :σ k = id לכל a i מתקיים σ k (a i ) = σ k 1 (a i+1 ) = = σ (a i 1 ) = a i ולכל σ k (m) = m,m a i (כי.(σ (m) = m נותר להוכיח מינימליות. אבל אם.σ l id כלומר,σ l (a 0 ) = a l אז a 0,l < k 9 מחלקות הגדרה.9.1 תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. לכל,g G נגדיר: Left coset Right coset המחלקה השמאלית של g לגבי H היא.gH = {gh h H} G המחלקה הימנית של g לגבי H היא H}.Hg = {hg h את אוסף המחלקות השמאליות נסמן.G/H 20
דוגמה 9.2. ניקח את G, = S 3 ונסתכל על תת החבורה H = (1 2 3) = {id, (1 2 3), (1 3 2)} המחלקות השמאליות של H ב- G : id H = {id, (1 2 3), (1 3 2)} (1 2) H = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 3) H = {(1 3), (1 2), (2 3)} = (1 2) H (2 3) H = {(2 3), (1 3), (1 2)} = (1 2) H (1 2 3) H = {(1 2 3), (1 3 2), id} = id H (1 3 2) H = {(1 3 2), id, (1 2 3)} = id H S 3 /H = {id H, (1 2) H} לכן דוגמה 9.3. ניקח את (+,Z) G, = ונסתכל על המחלקות השמאליות של H: = 5Z 0 + H = H = {..., 10, 5, 0, 5, 10,... } 1 + H = {..., 9, 4, 1, 6, 11,... } 2 + H = {..., 8, 3, 2, 7, 12,... } 3 + H = {..., 7, 2, 3, 8, 13,... } 4 + H = {..., 6, 1, 4, 9, 14,... } 5 + H = {..., 5, 0, 5, 10, 15,... } = H 6 + H = 1 + H 7 + H = 2 + H וכן הלאה. בסך הכל, יש חמש מחלקות שמאליות של 5Z ב- Z, וכן Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} דוגמה.9.4 ניקח את +), 8,G = (Z ונסתכל על 6} {0, 2, 4, = 2 =.H המחלקות השמאליות הן 0 + H = H, 1 + H = {1, 3, 5, 7}, 2 + H = H a + H = { H, if a 0 (mod 2) 1 + H, if a 1 (mod 2) ובאופן כללי, נשים לב ש-( H.G = H (1 + 21
הערה 9.5. כפי שניתן לראות מהדוגמאות שהצגנו, המחלקות השמאליות (או הימניות) של H יוצרות חלוקה של G. נוסף על כך, יחס השוויון בין המחלקות הנוצרות על ידי שני איברים ב- G הינו יחס שקילות. כלומר עבור a, b G ותת חבורה,H G שוויון בין מחלקות ah = bh משרה יחס שקילות על H (שבו a ו- b שקולים). נסכם זאת בעזרת המשפט הבא: משפט.9.6 תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. a, b G אזי.a H ah = H בפרט,b 1 a H אם ורק אם: ah = bh.1.2 לכל שתי מחלקות g 1 H ו- H,g 2 מתקיים g 1 H = g 2 H או = H.g 1 H g 2, וזהו איחוד זר. gh G/H.3 מתקיים H ah = bh = לכל.a, b G 4. האיחוד של כל המחלקות הוא כל gh = G G: הוכחה. (לבית) זה למעשה תרגיל ממתמטיקה בדידה. נוכיח רק את הסעיף הראשון: :( ) אם ah = bh אזי לכל.ah bh,h H בפרט עבור איבר היחידה,a = bh 0 לכן בהכרח h 0 כך ש- H מכאן נובע שקיים H.a = ae bh.b 1 a = h 0 H :( ) נניח ש- H,b 1 a אזי קיים,h 0 H כך ש-.b 1 a = h 0 לכן.a = bh 0 אבל אם עתה, לכל h H מתקיים ש- bh,ah = bh 0 h לכן.aH bh.bh = ah לכן בהכרח.bH ונקבל באותו אופן ש- ah,b = ah 1 o אזי,a = bh 0 הערה 9.7. קיימת התאמה חח ע ועל בין המחלקות השמאליות {G {gh g לימניות :(Hg g 1 H) לפי,{Hg g G} gh (gh) 1 = { (gh) 1 h H } = { h 1 g 1 h H } = { kg 1 k H } = Hg 1 לכן מספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות. Index of a subgroup הגדרה 9.8. נסמן את מספר המחלקות של H ב- G בסימון [H G]. : מספר זה נקרא האינדקס של H ב- G. דוגמה 9.9. על פי הדוגמאות שראינו: [Z : 5Z] = 5.1 [S 3 : (1 2 3) ] = 2.2 [Z 8 : 2 ] = 2.3 תרגיל.9.10 מצאו חבורה G ותת חבורה,H G כך ש- = H].[G : 22
פתרון. תהי +) (Q, G = ותת חבורה.H = Z ניקח שני שברים α 1, α 2 Q שונים בין 0 לבין 1, ונתבונן במחלקות שאיברים אלו יוצרים. נקבל ש- {α 1 + 0, α 1 ± 1, α 1 ± 2,... } = α 1 H α 2 H = {α 2 + 0, α 2 ± 1, α 2 ± 2,... } לכן, מספר המחלקות של H ב- G הוא לפחות ככמות המספרים ב- Q בין 0 לבין 1, שהיא אינסופית. Lagrange s theorem משפט 9.11 (לגראנז ). תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. אז H] H. G = [G : מסקנה 9.12. עבור חבורה סופית, הסדר של תת חבורה מחלק את הסדר של החבורה: G H = [G : H] בפרט, עבור,a G מפני ש- G, a אז G. a לכן מפני ש- a,o(a) = הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את הסדר של החבורה. לכן גם לכל a G מתקיים a. G = e דוגמה 9.13. עבור = 10 10 Z, הסדרים האפשריים של איברים ב- Z 10 הם מהקבוצה.{1, 2, 5, 10} תרגיל 9.14. האם לכל מספר m המחלק את סדר החבורה הסופית G בהכרח קיים איבר מסדר m? פתרון. לא בהכרח! דוגמה נגדית: נבחן את החבורה Z. 4 Z 4 סדר החבורה הינו 16 אבל לא קיים איבר מסדר 16. אילו היה קיים איבר כזה, אזי זו חבורה ציקלית, אבל הוכחנו שהחבורה Z n Z n אינה ציקלית עבור > 1 n. Euler s theorem Euler s totient function משפט 9.15 (משפט אוילר). פונקציית אוילר φ : N N מוגדרת לפי n.φ(n) = U עבור כל,a U n מתקיים n).a φ(n) = 1 (mod דוגמה = 1.9.16 10),(3, לכן U 10.3 מאחר ש-{ 9 {1, 3, 7, = 10,U אזי = φ(10).3 φ(10) = 3 4 = 81 = 1 (mod 10) אכן מתקיים:. U 10 = 4 Fermat s little משפט 9.17 (המשפט הקטן של פרמה). זה מקרה פרטי של משפט אוילר: עבור p ראשוני, theorem.a p 1 = 1 (mod p) ובפרט,o(g) (p מתקיים ש-( 1 a U p לכן לכל. U p = p 1 תרגיל 9.18. חשב את שתי הספרות האחרונות של המספר 909. 121 פתרון. נזכר ש- n mod הינו יחס שקילות. מפני ש-( 100 (mod 9 909, אז נוכל לחשב.9 121 כיוון ש- 1 = 100),(9, אזי על פי משפט אוילר: 100).9 φ(100) = 9 40 = 1 (mod מכאן ש-( 100 (mod 9 9 3 1 9 3 ) 40 (9 = 121.9 23
דוגמה.9.19 תהי G חבורה מסדר p ראשוני. יהי.e g G לכן > 1.o(g) מצד שני.o(g) G = p לכן בהכרח,o(g) = p מה שאומר ש- g.g = מאחר וזה נכון לכל e, g G נסיק ש- G נוצרת על ידי כל אחד מאיבריה שאינו איבר היחידה. טענה 9.20. תהי α G = ציקלית מסדר n, ויהי.m n אז ל- G יש תת חבורה ציקלית יחידה מסדר m..h = α n /m זו תת חבורה מסדר,m המוכיח קיום. תהי K תת חבורה הוכחה. נסמן ציקלית נוספת מסדר m, ונניח β K. = להוכחת היחידות נראה K. = H מאחר ש- α יוצר של G, קיים b n כך ש- β. = α b לכן לפי תרגיל 6.14,.o(β) = n (n,b).(n, b) = n n לפי תכונת הממ מ קיימים אבל.m = o(β) = m לכן m (n,b) s, t Z כך ש-.(n, b) = sn + tb לכן α n /m = α (n,b) = α sn+tb = (α n ) s (α b ) t = 1 β t K,α n /m ולכן.H K אבל על פי ההנחה K, H = לכן כלומר קיבלנו ש- K,H = K כדרוש. תרגיל 9.21 (לדלג). כמה תת חבורות לא טריוויאליות יש ב- Z? 30 (לא טריוויאלית פירושו לא כולל את {0} ואת Z.) 30 על פי התרגיל, מאחר ומדובר בחבורה ציקלית, מספר תת החבורות הוא כמספר המחלקים של המספר,30 כלומר: = 8 30}. {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, מאחר והסדרים 1 ו- 30 מתאימים לתת החבורות הטרוויאליות, נותרנו עם שש תת חבורות לא טריוויאליות. 10 חישוב פונקציית אוילר לצורך פתרון התרגיל הבא נפתח נוסחה נוחה לחישוב (n) φ. כלומר, בהנתן מספר שלם כלשהו, נוכל לחשב את מספר המספרים הקטנים ממנו בערך מוחלט וזרים לו. על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, כל מספר שלם ניתן לפרק למכפלת חזקות של מספרים ראשוניים (עד כדי סדר וסימן). נניח n = p k 1 1 p k 2 2... p k m m כעת נתבונן בנפרד בפונקציית אוילר של חזקה של מספר ראשוני כלשהו במכפלה, שאותם קל לחשב: φ ( p k) ( = p k p k 1 = p k 1 (p 1) = p k 1 1 ) p 24
ולכן, עבור מספר שלם כלשהו: φ (n) = φ ( ) ( p k 1 1 p k 2 2... p k m m = φ p k 1 ) ( 1 φ p k 2 ) ( 2... φ p k m ) ) ) m ) = p k 1 1 p k 2 2... p km m (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk ) ) ) = n (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk φ (n) = n ) ) ) (1 (1 1p1 1p2... (1 1pk ולסיכום φ (60) = 60 ( 1 1 ) ( 1 1 2 3 דוגמה 10.1. נחשב את (60) φ: ) = 16 ) ( 1 1 5 תרגיל 10.2. חשבו את שתי הספרות האחרונות של 80732767. 1999 + 2016 פתרון. נפעיל mod100 ונקבל 80732767 1999 + 2016 67 1999 + 16 = 67 50 40 1 + 16 = ( 67 40) 50 67 1 + 16 = ( 67 φ(100)) 50 67 1 + 16 (1) 50 67 1 + 16 = 67 1 + 16 כעת נותר למצוא את ההופכי של 67 בחבורה (67 U 100 זר ל- 100 ולכן נמצא ב- U). 100 לצורך כך, נשתמש באלגוריתם של אוקלידס לצורך מציאת פתרון למשוואה.67x = 1 (mod 100) יש פתרון למשוואה אם ורק אם קיים k Z כך ש- 1 = 67x 100k. + בעזרת אלגוריתם אוקלידס נמצא ביטוי של (67,100) gcd כצירוף לינארי של 67 ו- 100 : (100, 67) = [100 = 1 67 + 33] (67, 33) = [67 = 2 33 + 1] (33, 1) = 1 ומהצבה לאחור נקבל: 67 3 100 + 2 = 33 2 = 67,1 ולכן = 3,x כלומר ההופכי של 67 הוא 3. לכן = 19 16 = 3 + 16.67 1 + כלומר שתי הספרות האחרונות הם.19 תרגיל 10.3. הוכיחו את הטענה הבאה: תהא G חבורה סופית, אזי G מסדר זוגי קיים ב- G איבר מסדר 2. ( ): על פי משפט לגראנז, הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה ולכן סדר החבורה זוגי. 25
( ): לאיבר מסדר 2 תכונה יחודית - הוא הופכי לעצמו. נניח בשלילה שאין אף איבר ב- G מסדר 2, כלומר שאין אף איבר שהופכי לעצמו, פרט לאיבר היחידה. אז ניתן לסדר את כל איברי החבורה בזוגות, כאשר כל איבר מזווג לאיבר ההופכי לו. ביחד עם איבר היחידה נקבל מספר אי זוגי של איברים ב- G בסתירה להנחה. מסקנה 10.4. לחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר 2. 11 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים Subgroup generated by S S generates G Finitely generated הגדרה 11.1. תהי G חבורה ותהי S G תת קבוצה לא ריקה איברים ב- G (שימו לב ש- S אינה בהכרח תת חבורה של G). תת החבורה הנוצרת על ידי S הינה תת החבורה המינימלית המכילה את S ונסמנה G, = סופית כך ש- S S אם קיימת S. על ידי נוצרת אז נאמר ש- G G = S אם S. נאמר כי G נוצרת סופית. עבור קבוצה סופית של איברים, נכתוב בקיצור k x. 1,..., x הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית. חבורה היא ציקלית אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. גם כל חבורה סופית נוצרת סופית. דוגמה.11.2 ניקח Z 3} {2, ואת 3 2, =.H נוכיח בעזרת הכלה דו כיוונית ש- Z.H = H תת חבורה של,Z ובפרט.H Z כיוון ש- H 2 אזי גם H ( 2) ומכאן ש- H 1 = 3 + (2 ). כלומר איבר היחידה, שהוא יוצר של Z, מוכל ב- H. לכן.H = קיבלנו ש- Z.Z H כלומר,Z = 1 H דוגמה.11.3 אם ניקח Z 6},{4, אז נקבל: Z} {4n + 6m m, n = 6. 4, נטען ש- 2Z = gcd (4, 6) Z = 6 4, (כלומר תת חבורה של השלמים המכילה רק את המספרים הזוגיים). נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית, :( ) ברור ש- 6n 2 4m + ולכן 2Z 6. 4, :( ) יהי.2k 2Z אזי 6 4, ( k)+6k.2k = 4 לכן גם מתקיים 6 4,.2Z דוגמה 11.4. בדומה לדוגמה האחרונה, במקרה שהחבורה אבלית, קל יותר לתאר את תת החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים. למשל אם ניקח שני יוצרים,a b G נקבל: Z}. a, b = {a i b j i, j בזכות החילופיות, ניתן לסדר את כל ה- a -ים יחד וכל ה- b -ים יחד. למשל abaaab 1 bbba 1 a = a 4 b 3 באופן כללי, בחבורה אבלית מתקיים: a 1,..., a n = { a k 1 1... a k n n 1 i n, ki Z } דוגמה 11.5. נוח לעיתים לחשוב על איברי A בתור קבוצת המילים שניתן לכתוב באמצעות האותיות בקבוצה A. מגדירים את האלפבית שלנו להיות 1 A A כאשר x A מילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית, ועבור.A 1 = {a 1 a A} מתקיים,xx 1 = x 1 x = ε כשהמילה הריקה ε מייצגת את איבר היחידה ב- G. 26
12 נושאים נוספים בחבורה הסימטרית 12.1 סדר של איברים בחבורה הסימטרית הערה.12.1 תזכורת: עבור מחזור σ S n מאורך k מתקיים:.o (σ) = k טענה 12.2 (בתרגיל הבית). תהי G חבורה. יהיו a, b G כך ש- ba ab = וגם = a b e (כלומר החיתוך בין תת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי a ותת החבורה הציקלית הנוצרת על ידי b היא טריוויאלית). אז o (ab) = lcm (o(a), o(b)) מסקנה 12.3. סדר מכפלות מחזורים זרים ב- S n הוא הכמ מ (lcm) של אורכי המחזורים. דוגמה 12.4. הסדר של (56) (193) הוא 6 והסדר של (56) (1234) הוא 4. תרגיל 12.5. מצאו תת חבורה מסדר 45 ב- S. 15 פתרון. נמצא תמורה מסדר 45 ב- S. 15 נתבונן באיבר σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14) ונשים לב כי = 45 5] [9, = (σ).o כעת, מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת החבורה שאיבר זה יוצר, נסיק שתת החבורה σ עונה על הדרוש. שאלה 12.6. האם קיים איבר מסדר 39 ב- S? 15 פתרון. לא. וזאת מכיוון שאיבר מסדר 39 לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים ב-.S 15 אמנם ניתן לקבל את הסדר 39 כמכפלת מחזורים זרים, האחד מאורך 13 והאחר מאורך, 3 אבל = 16 3 13 + ולכן, זה בלתי אפשרי ב-.S 15 Transposition 12.2 הצגת מחזור כמכפלת חילופים הגדרה 12.7. מחזור מסדר 2 ב- S n נקרא חילוף. טענה.12.8 כל מחזור ) r (a 1, a 2,..., a ניתן לרשום כמכפלת חילופים (a 1, a 2,..., a r ) = (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 )... (a r 1, a r ) S n = {(i, j) 1 i, j n} לכן: תרגיל.12.9 כמה מחזורים מאורך r n 2 יש בחבורה?S n 27
( n אפשרויות כאלה. r) פתרון. זו שאלה קומבינטורית. בוחרים r מספרים מתוך n ויש כעת יש לסדר את r המספרים ב-! r דרכים שונות. אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות, כי יש r מחזורים זהים, שהרי (a 1,..., a r ) = (a 2,..., a r, a 1 ) = = (a r, a 1,..., a r 1 ) לכן נחלק את המספר הכולל ב- r.. ( n r) (r 1)! תרגיל 12.10. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 4 פתרון. ב- S 4 הסדרים האפשריים הם: 1. סדר - 1 רק איבר היחידה. נקבל שמספר המחזורים מאורך r ב- S n הינו 2. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים, למשל (34) (12)..3 סדר - 3 מחזורים מאורך,3 למשל.(243).4 סדר - 4 מחזורים מאורך,4 למשל.(2431) וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב- S. 4 תרגיל 12.11. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 5 פתרון. ב- S 5 הסדרים האפשריים הם: 1. סדר - 1 רק איבר היחידה. 2. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים..3 סדר - 3 מחזורים מאורך.3.4 סדר - 4 מחזורים מאורך.4.5 סדר - 5 מחזורים מאורך.5 6. סדר - 6 מכפלה של חילוף ומחזור מאורך 3, למשל (54) (231). וזהו! שימו לב שב- S n יש איברים מסדר שגדול מ- n עבור 5 n. 28
Sign Even permutation Odd permutation 12.3 סימן של תמורה וחבורת החילופין (חבורת התמורות הזוגיות) הגדרה 12.12. יהי σ מחזור מאורך k, אזי הסימן שלו מוגדר להיות: sign (σ) = ( 1) k 1 sign (στ) = sign (σ) sign (τ) עבור תמורות τ, σ Sn נגדיר תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב- S. n יש דרכים שקולות אחרות להגדיר סימן של תמורה. נקרא לתמורה שסימנה 1 בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה 1 בשם תמורה אי זוגית. דוגמה 12.13. (נקודה חשובה ומאוד מבלבלת) 1. החילוף (35) הוא תמורה אי זוגית. 2. התמורה הריקה היא תמורה זוגית. 3. מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית. Alternating group הגדרה 12.14. חבורת החילופין (חבורת התמורות הזוגיות) A n היא תת החבורה הבאה של :S n A n = {σ S n sign (σ) = 1}. A n = n! הערה 12.15. הסדר של A n הינו 2 הגדרה.12.16 (132)}, (123) {id,.a 3 = נשים לב כי (123) = 3 A כלומר A 3 ציקלית. 13 מערכת הצפנה RSA RSA cryptosystem דוגמה לשימוש בתורת החבורות הוא מערכת הצפנה,RSA המממשת שיטה להצפנה אסימטרית המובססת על רעיון המפתח הציבורי. נראה דוגמה להרצה של אלגוריתם RSA (על שם רון ריבסט, עדי שמיר ולאונרד אדלמן) הנלקחה מויקיפדיה. המטרה: בוב מעוניין לשלוח לאליס הודעה באופן מוצפן. יצירת המפתחות: אליס בוחרת שני מספרים ראשוניים,p q באופן אקראי (בפועל מאוד גדולים). היא מחשבת את המספרים n = pq ואת 1) (q.φ(n) = (p 1) בנוסף היא בוחרת מספר e הזר ל-( φ(n שנקרא המעריך להצפנה (בפועל = 65537 2 16 + 1 או מספר די קטן אחר). היא מוצאת הופכי כפלי d של e בחבורה φ(n) U שיהווה את המפתח הסודי שלה. כלומר היא מוצאת מספר המקיים 1 de φ(n)),(mod למשל על ידי אלגוריתם אוקלידס המורחב. זהו שלב שאין צורך לחזור עליו. 29
הפצת המפתח הציבורי: אליס שולחת באופן אמין, אך לא בהכרח מוצפן, את המפתח הציבורי (e,n) לבוב (או לעולם). את המפתח הסודי d היא שומרת בסוד לעצמה. גם זהו שלב שאין צורך לחזור עליו. הצפנה: בוב ישלח הודעה M לאליס בצורת מספר m המקיים m < n 0 וגם = 1 (m.gcd(n, כלומר יש רק + 1 φ(n) סוגי הודעות שונות שבוב יכול לשלוח. הוא ישלח את ההודעה המוצפנת n).c m e (mod פענוח: אליס תשחזר את ההודעה m בעזרת המפתח הסודי m c d m ed m.(mod n) דוגמה 13.1. נציג דוגמה עם מספרים קטנים מאוד. אליס תבחר למשל את = 61 p ואת = 53 q. היא תחשב n = pq = 3233 φ(n) = (p 1) (q 1) = 3120 היא תבחר מעריך הצפנה = 17 e, שאכן זר ל- 3120 =.φ(n) המפתח הסודי שלה הוא d e 1 2753 (mod 3120) וכדי לסיים את שני השלבים הראשונים באלגוריתם היא תפרסם את המפתח הציבורי שלה e).(n, נניח ובוב רוצה לשלוח את ההודעה = 65 m לאליס. הוא יחשב את ההודעה המוצפנת c m 17 2790 (mod 3233) וישלח את c לאליס. כעת אליס תפענח אותה על ידי חישוב m 2790 2753 65 (mod 3233) החישובים בשלבי הביניים של חזקות מודולריות יכולים להעשות בשיטות יעילות מאוד הנעזרות במשפט השאריות הסיני, או על ידי חישוב חזקה בעזרת ריבועים (שיטה הנקראת גם העלאה בינארית בחזקה). למשל לחישוב m 17 נשים לב שבסיס בינארי = 10001 2,17 ולכן במקום = 16 1 17 הכפלות מודלוריות נסתפק בחישוב: m 1 m 1 65 (mod 3233) m 2 (m) 2 992 (mod 3233) m 4 ( m 2) 2 1232 (mod 3233) m 8 ( m 4) 2 1547 (mod 3233) m 16 ( m 8) 2 789 (mod 3233) m 17 m ( m 8) 2 2790 (mod 3233) 30
נשים לב שכאשר כפלנו ב- m (שורה ראשונה ואחרונה) זה מקביל לסיביות הדלוקות ב- 10001, 2 ואילו כאשר העלנו בריבוע, זה מקביל למספר הסיביות (פחות 1). בקיצור (m k 2 ) 2 k זוגי m k = m (m k 2 ) 2 k אי זוגי log 2 פעולות של העלאה כלומר כאשר נחשב m k עבור k כלשהו נוכל להסתפק ב- k log 2 הכפלות מודולריות, במקום 1 k הכפלות מודלוריות בריבוע ולכל היותר ב- k ב- m. בבית תדרשו לחישוב של 2790 2753 בעזרת שיטה זו. הערה 13.2 (אזהרה!). יש לדעת שלא כדאי להשתמש לצרכים חשובים בפונקציות קריפטוגרפיות שמימשתם לבד. ללא בחינה מדוקדקת על ידי מומחים בתחום לגבי רמת בטיחות ונכונות הקוד, ישנן התקפות רבות שאפשר לנצל לגבי מימושים שכאלו, כגון בחירת מפתחות לא ראויה. בנוסף יש התקפות לגבי הפרוטוקול בו משתמשים כגון התקפת אדם באמצע, התקפת ערוץ צדדי ועוד ועוד. 14 חבורות מוצגות סופית נראה דרך לכתיבה של חבורות שנקראת יצוג על ידי יוצרים ויחסים. בהנתן יצוג Presentation G = X R נאמר ש- G נוצרת על ידי הקבוצה X של היוצרים עם קבוצת היחסים R. כלומר כל איבר בחבורה G ניתן לכתיבה (לאו דווקא יחידה) כמילה סופית ביוצרים והופכיהם, ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה. דוגמה 14.1. יצוג של חבורה ציקלית מסדר n הוא Z n = x x n כל איבר הוא חזקה של היוצר x, ושכאשר רואים את תת המילה x n אפשר להחליף אותה ביחידה. לנוחות, בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות, למשל x. n = e באופן דומה, החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג Z = x ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה. ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות Z Z = x, y xy = yx, F 2 = x, y Finitely presented הגדרה 14.2. ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית. אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית, נאמר שהחבורה מוצגת סופית. 31
דוגמה 14.3. כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית, וראינו מה הם היצוגים המתאימים. כל חבורה סופית היא מוצגת סופית (זה לא טריוויאלי). נסו למצוא חבורה נוצרת סופית שאינה מוצגת סופית (זה לא כל כך קל). Dihedral group Isometry Symmetry 14.1 החבורה הדיהדרלית הגדרה 14.4. עבור מספר טבעי n, הקבוצה D n של סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע משוכלל בין n צלעות על עצמו, היא החבורה הדיהדרלית מדרגה n, יחד עם הפעולת של הרכבת פונקציות. מיוונית, פירוש השם די-הדרה הוא שתי פאות, ומשה ירדן הציע במילונו את השם חבורת הפאתיים ל- D. n אם σ הוא סיבוב ב- 2π ו- τ הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו, אז יצוג סופי n מקובל של D n הוא D n = σ, τ σ n = τ 2 = id, στ = τσ 1 הערה 14.5 (אם יש זמן). פונקציה α : R 2 R 2 שהיא חח ע ועל ושומרת מרחק (כלומר α(y)) (d(x, (y = d(α(x), נקראת איזומטריה. אוסף האיזומטריות עם הפעולה של הרכבת פונקציות הוא חבורה. תהי L R 2 קבוצה כך שעבור איזומטריה α מתקיים.α(L) = L במקרה זה α נקראת סימטריה של L. אוסף הסימטריות של L הוא תת חבורה של האיזומטריות. החבורה D n היא בדיוק אוסף הסימטריות של מצולע משוכלל בן n צלעות. דוגמה 14.6. החבורה D 3 נוצרת על ידי סיבוב σ של 120 ועל ידי שיקוף τ, כך שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים:.τστ = σ 1,σ 3 = τ 2 = id כלומר עם משולש מה עושה כל איבר, וכנ ל עבור.(D 5 (להדגים D 3 = {id, σ, σ 2, τ, τσ, τσ 2 } מה לגבי האיבר?στ D 3 הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר, שכן τστ = σ 1 στ = τ 1 σ 1 = τσ 2 לכן.στ = τσ 2 כך גם הראנו כי D 3 אינה אבלית. { id, σ, σ 2,..., σ n 1, τ, τσ, τσ 2,..., τσ n 1} סיכום 14.7. איברי D n הם בפרט נקבל כי D n = 2n ושעבור > 2 n החבורה אינה אבלית כי.τσ στ (למי,D 3 אבל עבור > 3 n החבורות שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי = S3 D n ו- S n אינן איזומורפיות.) 32
15 הומומורפיזמים Group homomorphism הגדרה.15.1 תהינה ),(G, (H, ) חבורות. העתקה f : G H תקרא הומומורפיזם של חבורות אם מתקיים x, y G, f(x y) = f(x) f(y) נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים: Monomorphism Epimorphism Epimorphic image Isomorphism Isomorphic groups Automorphism 1. הומומורפיזם שהוא חח ע נקרא מונומורפיזם או שיכון. נאמר כי G משוכנת ב- H אם קיים שיכון.f : G H 2. הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם. נאמר כי H היא תמונה אפימורפית של G אם קיים אפימורפיזם.f : G H 3. הומומורפיזם שהוא חח ע ועל נקרא איזומורפיזם. נאמר כי G ו- H איזומורפיות אם קיים איזומורפיזם.f : G H נסמן זאת.G = H.4 איזומורפיזם f : G G נקרא אוטומורפיזם של.G 5. בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם, מונומורפיזם, אפימורפיזם, איזומורפיזם ואוטומורפיזם להומ, מונו, אפי, איזו ואוטו, בהתאמה. הערה 15.2. העתקה f : G H היא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה : g.g f = id G וגם f g = id H כך ש- H G אפשר להוכיח (נסו!) שההעתקה g הזו היא הומומורפיזם בעצמה. כלומר כדי להוכיח שהומומורפיזם f הוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה 1 f g. = אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות. תרגיל 15.3. הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות. קבעו האם הן הומומורפיזמים, ואם כן מהו סוגן:.1 R φ : R המוגדרת לפי x e x היא מונומורפיזם. מה היה קורה אם היינו מחליפים למרוכבים?.2 יהי F שדה. אז F det : GL n (F ) היא אפימורפיזם. הרי det(ab) = det(a) det(b) וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים 1),... 1, (x, באלכסון..3 R φ : R המוגדרת לפי x x אינה הומומורפיזם כלל. הראתם φ : Z 2 Ω 2 המוגדרת לפי 1,0 1 1 היא איזומורפיזם..4 בתרגיל בית שכל החבורות מסדר 2 הן למעשה איזומורפיות. 33
העובדה שהעתקה f : G H היא הומומורפיזם גוררת כמה תכונות מאוד נוחות:.f(e G ) = e H.1.n Z לכל f(g n ) = f(g) n.2 1 f(g),f(g 1 ) = כמקרה פרטי של הסעיף הקודם..3 Kernel Image.4 הגרעין של,f כלומר } H,ker f = {g G : f(g) = e הוא תת חבורה נורמלית של G (בהמשך נסביר מה זה תת חבורה נורמלית )..5 התמונה של,f כלומר G},im f = {f(g) : g היא תת חבורה של.H.6 אם,G = H אז H. G = דוגמה 15.4. התכונות האלו של הומומורפיזמים מזכירות, ולא במקרה, מה שלומדים באלגברה לינארית. יהיו,V W מרחבים וקטוריים מעל שדה F. העתקה לינארית T : V W היא (גם) הומומורפיזם של חבורות. נניח,dim V = dim W האם בהכרח T איזומורפיזם? הערה 15.5. ידוע שהעתקה לינארית נקבעת באופן יחיד על ידי תמונה של בסיס. באופן דומה, אם S,G = אז תמונת הומומורפיזם f : G H נוצרת על ידי.f(S) שימו לב שלא כל קביעה של תמונה של קבוצת יוצרים (אפילו של יוצר אחד) תגדיר הומומורפיזם. למשל φ : Z n Z המוגדרת לפי = 1 φ([1]) אינה מגדירה הומומורפיזם ואינה מוגדרת היטב. מצד אחד φ([n]) = φ([1] + + [1])? = φ([1]) + + φ([1]) = n ומצד שני = 0.φ([n]) באופן כללי, יש לבדוק שכל היחסים שמתקיימים בין היוצרים, מתקיימים גם על תמונות היוצרים, כדי שיוגדר הומומורפיזם. תרגיל 15.6. יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו כי לכל g G מסדר סופי מתקיים.o(f(g)) o(g) הוכחה. נסמן o(g) n. = לפי הגדרה g. n = e G נפעיל את f על המשוואה ונקבל f(g n ) = f(g) n = e H = f(e G ) ולכן.o(f(g)) n תרגיל 15.7. האם כל שתי חבורות מסדר 4 הן איזומורפיות? פתרון. לא! נבחר G = Z 2 Z 2 ואת.H = Z 4 נשים לב כי ב- H יש איבר מסדר.4 אילו היה איזומורפיזם f, : G H אז הסדר של איבר מסדר 4, כמו H 1, היה מחלק את הסדר של המקור. בחבורה G כל האיברים מסדר 1 או 2, לכן הדבר לא יתכן, ולכן החבורות לא איזומורפיות. בנוסף, איזומורפיזם שומר על סדר האיברים, ולכן בחבורות איזומורפיות הרשימות של סדרי האיברים בחבורות, הן שוות. 34
טענה 15.8 (לבית). יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו שאם G אבלית, אז im f אבלית. הסיקו שאם G, = H אז G אבלית אם ורק אם H אבלית. תרגיל.15.9 יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו שאם G ציקלית, אז im f ציקלית. הוכחה. נניח a.g = נטען כי f(a).im f = יהי x im f איבר כלשהו. לכן יש איבר g G כך ש- x f(g) = (כי im f היא תמונה אפימורפית של G). מפני ש- G ציקלית קיים k Z כך ש-.g = a k לכן x = f(g) = f(a k ) = f(a) k וקיבלנו כי f(a) x, כלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של.f(a) הסיקו שכל החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות. תרגיל.15.10 האם קיים איזומורפיזם?f : S 3 Z 6 פתרון. לא, כי S 3 לא אבלית ואילו Z 6 כן. תרגיל.15.11 האם קיים איזומורפיזם +) (Q,?f : (Q +, ) פתרון. לא. נניח בשלילה כי f הוא אכן איזומורפיזם. לכן f(a)+f(a).f(a 2 ) = נסמן (3)f c, = ונשים לב כי c. = c + c מפני ש- f היא על, אז יש מקור ל- c ונסמן אותו 2 2 2.f(x) = c 2 קיבלנו אפוא את המשוואה f(x 2 ) = f(x) + f(x) = c = f(3) ומפני ש- f היא חח ע, קיבלנו = 3 2 x. אך זו סתירה כי / Q 3. תרגיל.15.12 האם קיים אפימורפיזם f : H Z 3 Z 3 כאשר R?H = 5 פתרון. לא. נניח בשלילה שקיים f כזה. מפני ש- H היא ציקלית, אז גם im f היא ציקלית. אבל f היא על, ולכן נקבל כי.im f = Z 3 Z 3 אך זו סתירה כי החבורה Z 3 Z 3 אינה ציקלית. תרגיל.15.13 האם קיים מונומורפיזם?f : GL 2 (Q) Q 10 פתרון. לא. נניח בשלילה שקיים f כזה. נתבונן בצמצום f, : GL 2 (Q) im f שהוא איזומורפיזם (להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש- f חח ע, אז f היא איזומורפיזם). ידוע לנו כי,im f Q 10 ולכן im f אבלית. כלומר גם (Q) GL 2 אבלית, שזו סתירה. מסקנה. יתכנו ארבע הפרכות ברצף. תרגיל.15.14 מתי ההעתקה i : G G המוגדרת לפי 1 g i(g) = היא אוטומורפיזם? 35
פתרון. ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח ע ועל. כעת נשאר לבדוק שהיא שומרת על הפעולה (כלומר הומומורפיזם). יהיו,g h G ונשים לב כי i(gh) = (gh) 1 = h 1 g 1 = i(h)i(g) = i(hg) וזה יתקיים אם ורק אם.gh = hg כלומר i היא אוטומורפיזם אם ורק אם G אבלית. כהערת אגב, השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן.inversion Cayley s theorem תרגיל 15.15 (משפט קיילי). תהי G חבורה. הוכיחו שקיים מונומורפיזם G. S G תזכורת: האוסף S X של הפונקציות ההפיכות ב- X X יחד עם פעולת ההרכבה נקרא חבורת הסימטריה על X. הוכחה. לכל g G מוגדרת פונקציה חח ע ועל l g S G לפי כפל משמאל.l g (a) = ga נגדיר פונקציה Φ : G S G לפי.Φ(g) = l g תחילה נראה ש- Φ הומומורפיזם. כלומר צריך להוכיח שלכל,g h G מתקיים l g l h = l gh הפונקציות שוות אם ורק אם לכל a G הן יסכימו על תמונת a: (l g l h ) (a) = l g (l h (a)) = l g (ha) = gha = l gh (a) ולכן Φ הומומורפיזם. כדי להראות שהוא חח ע, נניח l. g = l h אז מתקיים g = g e G = l g (e G ) = l h (e G ) = h e G = h לכן,g = h ולכן G משוכנת ב-.S G מסקנה 15.16. כל חבורה סופית G מסדר n איזומורפית לתת חבורה של S. n מסקנה 15.17. יהי F שדה. כל חבורה סופית G מסדר n איזומורפית לתת חבורה של.GL n (F ) רמז להוכחה: הראו ש- S n איזומורפית לתת חבורה של ) F).GL n אתגר: מצאו מונומורפיזם ) (F.G GL n 1 קודם נסו לשכן את S n ב-(.GL n 1 (F תרגיל 15.18 (רשות). תהי G חבורה מסדר 6. הוכיחו שאם G אבלית, אז G, = Z 6 ושאם G לא אבלית, אז.G = S 3 16 תת חבורות נורמליות Normal subgroup הגדרה 16.1. תת חבורה H G נקראת תת חבורה נורמלית אם לכל g G מתקיים.H G במקרה זה נסמן.gH = Hg משפט 16.2. תהי תת חבורה H. G התנאים הבאים שקולים: 36